还应该把这个(问题)转至物体的真正广延(上去考虑)，并把它通盘提供给想象借助f于单纯形象(去观察)，因为，这样一来，悟性才可以更加清楚得多地知觉它。要借助于想象，必须注意的是：每逢我们从某个原来已知项中演绎出一个未知项的时候，并不是因而就发现了某种新的存在物，只是把整个有关的认识扩展了，使我们得以看出所寻求的事物总是以这种或那种方式涉及命题中已知事物的性质的。例如，设有一人生而盲目，我们就不应该指望依靠任何说理的办法，使他知觉真正的颜色意念，恰如我们从感觉中获知的那样。但是，假如另有一人至少有时见过基本色，虽然从来没有见过中间色和混合色。那么他就有可能自己设想中间色和混合色是什么样子，尽管他没有见过，却可以使用某种演绎，按照与其它颜色的相似去设想。同样，假如在磁石中有某种存在物，我们的悟性并未见过相似者，我们就不应该希望多少有点可能通过推理去认识该物；因为，要能这样，我们必须或者具备某种新的感官，或者禀赋着一种神圣心灵；然而，人类心灵在此问题上所能做到的一切，我们会认为自己是能够做到的，既然产生与这种磁石相同效应的混合物或已知物的混合，已为我们十分清楚地觉知。

诸如广延、形象、运动这类已知存在物，这里不及一一列举。凡此种种虽存在于不同主体中，它们之被获知却都是通过同一意念：一顶王冠，无论是银子做的，还是金子做的，我们想象其形象都不会不同，这种共同意念从一主体转移至另一主体，不会以其它方式，只会通过单纯比较，我们就是用这种比较来肯定所询问的事物与某一既定项构成什么关系：相似或对应或相等的关系。因此，在任何推理中我们准确辨认真理只是通过比较。例如这一推理：凡a皆为b，凡b皆为c，因而凡a皆为c，我们就是把所求和既定，即a和c，按照二者皆为b的关系来加以比较的，等等。但是，前面已多次提醒，三段论各种形式对于知觉事物真理毫无助益。既然如此，读者最好是把它们统统抛弃，然后设想：绝对而言，凡不能凭借对单一事物的单纯直观而获得的认识，都是通过两个或多个项互相比较而获得的。当然，人类理性的奋勉努力几乎全在于为进行这一比较作准备，因为只要这种比较是公开的、完全单纯的，就不需要人工技巧的任何协助，只需借助于天然光芒，就可以直观这一光芒所获知的真理。

必须注意，所谓简单而公开的比较只指这样的场合：所求和已知共具某一性质；至于其它一切比较，则不需要任何准备，除非是由于这种共性并不同样存在于所求和已知之中，而是始终以隐蔽的形式存在于某些其它对比关系或比例之中；人的奋勉努力主要不是用于别处，只是用于归结这些比例，使我们得以清清楚楚看出所求和某种已知是相等的。最后还要注意，归结为这种相等关系的只能是可以容纳最大和最小可能的事物，我们把一切这类事物用量这个词来概括，因此，在按照前一条原则从任何问题中把困难各项抽象出来以后，我们就不要考虑其它，而应该仅仅以一般量为考察对象。

不过，为使我们在这样的时刻还想象某个事物，而且不是运用纯悟性，而是运用幻想中描绘的形象所协助的那种悟性，还要注意的是：一般量，要是不特别与任何一种形象相关联，就谈不上什么一般量。由此可见，如果把我们所理解堪称一般量的事物，转化为可以在我们想象中最容易最清晰加以描绘的那种量，我们将获益匪浅。那就是物体的真正广延，它是存在为形象的，除形象外抽象掉了其它一切。从原则十二中引申出来的结论正是如此，既然在那一原则中我们设想，幻想本身连同其中存在的意念，无非是真正有广延的、存在为形象的真实物体。这一点也是不言而喻的，既然以任何其它主体都不能使人更清楚地看出各种比例之间的一切区别，那么，虽然可以说一事物比另一事物白或不白，这个声音比那个声音尖或不尖，等等，我们却无法确定两者究竟是相差一倍、两倍……除非与存在为形象的物体之广延有某种相似之处，因此，完全确定的问题几乎不包含任何其它困难，只有一个困难，就是如何把比例发展为相等关系；凡是恰恰存在这种困难的事物，都可以而且应该容易地同任何其它主体相区别，然后把它转移为广延和形象。为此，直至原则二十五之前，我们将仅仅论述广延和形象，而略去其它一切考虑。

我们愿意希望有哪位读者喜欢研究算术和几何，虽然我宁愿他还没有涉猎过此道，不要像一般人那样所谓已经精通，因为，运用我在这里将叙述的各条原则，就完全足以学会这两门学科，比学习任何其它问题要容易得多。这种运用用处极大，可以使我们达到高度的智慧。因此，我可以放心大胆地指出：前人从未借助于数学问题(的研究)而发现我们的方法的这一部分，然而，我要说，现在的人学习数学几乎正是应该为了发扬这部分方法。对这两门学科，我要假定的不是别的，也许只不过是某些不言而喻的、大家有目共睹的(因素)；然而，一般人对于这些因素的认识，即使没有被任何错误公然败坏，却由于若干不太正确的、构想不妥当的原则而模糊含混，下面我们尽力逐步予以纠正。我们所说的广延，指的是具有长、宽、深的一切，不问它是实在物体，还只是一个空间，也似乎无需作更多的解释，既然我们的想象所能觉察的最容易莫过于此。然而，正因为饱学之士往往剖微析缕，以至自发的(理性)光芒消散，甚至在农民也绝不是不懂的事物中也发现了晦暗模糊之处。我们必须提醒他们，这里所说的广延，并不是指任何有别于、孤立于其主体的什么东西。一般说来，我们并不知道有任何这类哲学存在物不属于想象所及的范围。因为，即使曾经有人相信，例如，自然界中具有广延性的一切都可归结为乌有。他也不可能排斥广延本身是确实存在的，尽管这样，他还是不会使用具有形体的意念来构想广延的，而只会使用会作出错误判断的悟性，这是他自己也会承认的。如果他仔细思考他那时将竭力在幻想中构造的那种广延形象本身，事实上，他将注意到，他对它的知觉并不脱离任何主体，他对它的想象却不同于他的判断。因此，无论悟性对于事物真理如何设想，这些抽象物在幻想中的形成绝不会脱离它们的主体。

但是，今后我们的论述将无一不依靠想象的协助，既然如此，值得我们慎重区别应该通过怎样的意念来向悟性提出这样或那样的词义。因此，我们提请考虑以下三种说法：广延占据空间，物体有广延，广延不是物体。

第一种说法表明：人们以为广延就是有广延性之物，因为，如果我说广延占据空间，这同我说有广延性者占据空间，心目中的想法是完全一样的。然而，如要避免模棱两可，使用有广延性的说法并不较好，因为它没有足够明确地表示出我们心目中的想法，即，某一主体由于有广延性而占据某一空间；会有人把有广延者即是占据某一空间的主体，仅仅理解为我说的是有生命者占据某一空间。这个理由就说明了为什么我们说：下面论述的是广延，而不是有广延性者，虽然我们认为对广延的想法应该同有广延性者一样。

现在来谈这句话：物体有广延。这里我们的意思是，广延意味着物体之外的东西；尽管如此，在我们的幻想中我们并不形成两个彼此有别的意念：一个是物体意念，另一个是广延意念，只是形成一个单一意念；有广延性的物体；如果我说物体有广延，更确切些说，有广延性者有广延，从事物方面而言，说的并不是任何其它。仅仅存在于另一物中、脱离主体就绝对不可设想的这类存在物的特点正是这样。而那些真正有别于它们的主体的存在物则是另一种情况，例如我说彼埃尔有财富，彼埃尔意念是与财富意念截然不同的；同样，如果我说保罗富有，我所想象的与如果我说富人富有完全是两码事。有些人不区别这一不同，错误地以为广延中包含着某种有别于有广延性的东西，犹如保罗的财富不等于保罗。

最后，如果我们说广延不是物体，这时，广延一词被赋予的含义是与以前完全不同的。这种含义下的广延一词，在幻想中并没有任何特殊意念与它对应。但是，这一说法完全是由纯悟性提出来的，而纯悟性的唯一功能只是把这类抽象物(从主体)分离出来。这样，好些人就可能犯错误了，因为他们不懂得要是这样看待广延，想象是无法理解它的，于是，他们就以实在的意念来设想它；既然这种意念必然掩盖着物体概念，如果他们说这样设想的广延不是物体，他们就不慎自相矛盾了，即，同一事物既是、又不是物体。非常重要的是区别这样的一些说法：例如，广延或形象不是物体，数不是被数之物，面积是物体的终极，线是面积的终极，点是线的终极，单位不是数量，等等。在这些说法中，广延、形象、数、面积、线、点、单位等等，含义十分狭窄，以至于这些名词排斥了它们其实无从摆脱的某种东西。所有这些命题以及其它一些类似命题都应该完全同想象无关，虽然它们是真实的。因此，下面我们将不予论述。

还必须认真注意，在一切其它命题中，这些名词虽然保持着同样的含义，虽然我们同样说它们是从其主体抽象出来的，它们却并不排斥或否定任何并无真正区别使之脱离主体的东西。在这样的命题中，我们可以而且应该运用想象的协助，因为，这时即使悟性仅仅集中注意于词义所示，想象却必须构造出事物的实在意念，同一悟性才能够转向用语所没有表达的其它条件，如果习俗要求如此，如果悟性不轻率地判断用语中已经排除了这些条件。比方说，关于数，有这样一个问题：我们想象某一主体可以用若干单位来度量，这时悟性尽可以仅仅思考该主体的多数，但我们仍应当心，不要使悟性随后得出结论，以为已从我们的概念中排除了被数之物就像这种人一样，他们赋予数以种种惊人神秘、纯粹愚蠢的妙处。这种种美妙，如果他们不设想数独立于被数物，他们自己肯定也不会相信的。同样，在研究形象时，我们要这样想：研究的是有广延的主体，对它的设想根据的只是它存在为形象；如是物体，我们就这样想：研究的是同一主体，但作为长、宽、深来研究；如是面积，设想同一主体，但作为长和宽而略去深，但也不否认主体可能有深度；如是线，只作为长；最后，如是点，设想同样，但略去一切，只除了它是一个存在物。

尽管我在这里详尽作出这种种演绎，世人的思想却一向成见很深，所以我还是担心，会有极少数人对于这一部分(方法)自信极有把握，不会有犯错误的危险。他们会觉得在这样一大篇论文中我的见解解释得太简略，因为，即使算术和几何这两种技艺，虽然是一切技艺中最可靠的，在这里还是会使人上当受骗的。有哪个计算家不认为，不仅仅需要运用悟性把他的数字从任何主体抽象出来，还需要运用想象把数与主体实际上区别开来呢?有哪个几何学家不是由于自相矛盾的原则，把原本明确的研究对象搞得混乱。例如，他一方面认为线是没有宽度的，面是没有深度的，另一方面却用线来组合面，以为线的移动就产生面，却没有注意到线就是一个实在物体，而没有宽度的线只是物体的一种方式，等等。但是，为了避免尽述这些错误而徒事耽搁，为求简略起见，我们应该陈述的是，我们认为应该如何设想我们研究的对象，才可以关于该对象，尽可能简单明了地证明与算术和几何相关的全部真理。

因此，我们在此考察任一有广延的对象时，丝毫也不考虑它的除广延本身以外的其它，同时通过奋勉努力避免使用数量一词，因为某些哲学家过于细致，把数量也同广延区别开来。然而，我们认为一切问题都可以归结到这样的程度：只要求认识某种广延，不必涉及其他；这样，就可以把这一广延同某个已知广延相比较。因为，事实上，我们在这里并不指望认识任何新的存在物，我们只是想把无论多么错综复杂的命题都归结到这种程度，找出同某个已知相等的未知；肯定无疑，比例与比例之间的差异，即使存在于其它主体，也可以在两个或多个广延之间发现；因此，为达到我们的目的，只需在广延本身中考虑有助于陈述比例差异的一切，而比例差异仅仅有三，即维、单位和形象。

所谓维，指的不是别的，而是我们认为某一主体之所以可度量的方式和原因，因此，不仅长、宽、深是物体的维，主体赖以有重量的重力也是维，速度是运动的维，诸如此类以至无穷。因为，或真实分割，或仅仅在心灵里分割为若干等份，这种分割本身就是我们对事物进行计数所根据的维。造成数的这一方式，就被相应地称作维品，虽然这一用语的含义还有某些分歧。假如我们依照各部分对比整体的秩序来考虑各部分，那就可以说我们是在计数；相反，假如依照整体之分布于各部分来考虑整体，则是在度量整体。例如，我们以年、日、时、刻来度量世纪；但是，假如我们对刻、时、日、年进行计数，我们最终将达到世纪。

由此可见，同一主体可以有无穷无尽的各种不同的维，它们对被度量物并不增添什么；然而，各种不同的维，即使在主体本身中有真实依据，我们对它们的领悟，仍然相同于我们经心灵选择、通过思维把它们构造而成。因为，物体的重力，或运动的速度，或一世纪划分为年和日，都是某种真实物，而日划分为时和刻则不是。尽管如此，这一切，假如像我们在这里必须做的和在数学各分科中必须做的那样，仅仅依据它们的维予以考虑，它们的表现则是一样的；研究它们的根据是否真实，这事实上更多的是物理学家的事情。

我这段议论对于几何学有重大启发作用，因此差不多所有的人都错误地以为几何学中有三种量：线、面、体。因为上面已经说过，线和面作为概念并不是真正独立于物体的，也不是两者互不相涉的，因为如果把它们单纯看作悟性所抽象之物，它们并不是种类不同的实质。顺带必须指出，物体的三维：长、宽、深，互相之区别只在于名词，因为，在任何前提下，没有什么禁止我们选择任意广延为长度，选择另一广延为宽度，等等。尽管这三者在单纯被视为广延的任何广延物中有真实依据，我们在此也并不比无数其它事物予以更多的考虑，无论它们是由悟性构造而成的，还是在事物中有其它依据：例如对于三角形，我们要完善地加以度量的话，就必须知道该事物的三项，即或者三边，或者两边加一角，或两角和面积，等等；在任意四边形中，必须知道五项，四面体中，必须知道六项，等等；即一切可称为维之物。但是，为了在这里选择对于我们的想象最有助益的事物，我们注意所及绝不会超过一两个，把这一两个同时在我们的幻想中加以描绘，即使我们知道这个命题中存在着任意数量的其它事物，因为，我们的这一技艺(的一个效果)，是尽可能多地区分事物，从而使我们同时考察的事物数量极少，而是逐一统统加以考察。单位，就是前面所说一切互相比较之物应该同样具有的那种共性。除非所涉及的问题中有已经确定了的单位，否则我们可以把已知量中的任一量，或者其它量，当作单位，用它来作为一切其它量的共同尺度；该单位中的维数与我们必须比较的首尾两项中的维数相等，而我们对该单位的设想，或者是单纯作为从其它任何抽象出来的某种广延物，那么它将与几何学家用点的移动来构成线的那种点一样，或者是作为某一线，或者作为一个正方形。

于形象，前面已经说过，仅仅是凭借它们才得以构成一切事物的意念，在此只需提醒一下，在不可胜数的各种形象之中，我们将只运用两种，能够最容易表现对比之间或比例之间一切差异的两种。只有两种事物是可以互相比较的，即多少和大小，因而我们也有两类形象用以呈现多少和大小于我们的概念。简言之，用来指示一个三角数的点&here4;，或说明某人出身的世系，等等，就是表示多少的形象；而连续的未分割的形象，例如△和，就是表示大小的。

现在，为使我们得以陈述在这一切形象中我们在此将利用哪些，人们必须知道，可以在同一类两事物之间存在的一切对比关系，必定涉及两个类别，即秩序和度量。此外，还必须知道，如要通过思维建立一种秩序，需要的奋勉努力不会是极小的，从我们的方法中自始至终这一点均可清楚地看出，因为我们的方法所教导的大抵只是这个(道理)。相反，找到了这个秩序之后，要认识它就不困难了。我们遵循原则七就可以很容易地逐一通观心灵有秩序地安排的各个部分，因为在这类对比关系中各事物自己互相关联，无需像度量中那样以一个第三项为中介，因此我们在此将仅仅阐述度量。例如，我认识得出a和b之间有何秩序，是并不需要考虑其它的，只要考虑首尾两项就行了。但是，我认识不到2和3之间量的比例，如果不考虑第三项，即单位，它是两者的共同尺度。

也应该知道，以一个借用单位为中介的连续量(大小)，有时可以统统地永远可以至少部分地归结为数(多少)；而单位的多少也可以随之安排成这样的秩序，使得认识度量方面的困难，归根到底，仅仅取决于对秩序本身的观察。我们这一技艺的最大优点正在于促成这一进展。

最后，还应该知道，连续量的各维之中，构想起来最清晰的莫过于长和宽；在同一形象中要是想比较两维，那就不要一下子注意多个维，因为我们的技艺要求的是：如果我们必须比较二以上的多维，我们就依次通观，一下子只注意两个维。

上所述，不难得出结论：从几何学家所研究的形象如果问题涉及它们中抽象出命题来，这应该不亚于从任何其它题材中抽象出命题来；为此需要运用的无非是直线所构成的面，直线图形和长方图形，因为如前所述，通过它们我们可以想象任一真正广延的主体，并不亚于通过面去想象；最后，通过这些形象，应该或者表现某种连续量，或者表明多少(即数)。要表明一切比例差异，人类奋勉努力所能发现最简单的莫过于此。

原则十五